Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.

$f(x)=\sqrt{4x}\cdot \sqrt{x}$

Schreibe $4$ als $2^2$.

$\phantom{f(x)}=\sqrt{2^2\cdot x}\cdot \sqrt{x}$

Ziehe $2^2$ als $2$ aus der Wurzel.

$\phantom{f(x)}=2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}$

$\phantom{f(x)}=2\cdot x$

Fasse $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}$ mit Hilfe der Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln zusammen.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$f^{\prime }(x)=2$

Die gesuchte Ableitung ist also $f^{\prime }(x)=2$.

Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.

Nutze hierfür die Wurzelgesetze zur Addition von Wurzeln und fasse die Terme zusammen.

$g(t)=4\sqrt{t}+5\sqrt{t}-3\sqrt{t}-2\sqrt{t}$

$\phantom{g(t)}=(4+5-3-2)\sqrt{t}$

$\phantom{g(t)}=4\sqrt{t}$

$\phantom{g(t)}=4t^{\frac{1}{2}}$

Benutze die Potenzgesetze für Wurzeln.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$g^{\prime }(t)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^{-\frac{1}{2}}=2t^{-\frac{1}{2}}$

Die gesuchte Ableitung ist also:

$g^{\prime }(t)=2t^{-\frac{1}{2}}$

Wenn du möchtest, kannst du die Ableitung nun auch wieder in eine Schreibweise mit Wurzel umformen:

$g^{\prime }(t)=2\cdot t^{-\frac{1}{2}}$

$\phantom{g^{\prime }(t)}=2\cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

$\phantom{g^{\prime }(t)}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

$\phantom{g^{\prime }(t)}=\frac{2}{\sqrt{t}}$